# 596:  © Hilmar Alquiros, Philippines

English

FUN F^RACTS!

Anomalous Cancelling Fractions

→ German

 Sometimes in mathematics you are allowed to do something that is usually forbidden: you simply cross out identical digits in numerator and denominator — and the fraction remains valid!

The Classics (2-digit)

 Already in the early problems of Project Euler (Problem 33) this phenomenon appears. There are exactly four non-trivial two-digit examples (cf. Project Euler 33, R solution on R-Bloggers):

• 16/64 → 1/4 (cancel the 6)

• 19/95 → 1/5 (cancel the 9)

• 26/65 → 2/5 (cancel the 6)

• 49/98 → 4/8 = 1/2 (cancel the 9)

 In the literature, they are called digit-cancelling fractions or anomalous cancelling fractions.

"Euler Problem 33"

The Most Aesthetic Ones (3-digit)

 Extending the search to three-digit numbers and requiring that two digits must be cancelled (and not more than one digit "0") is used produces the truly surprising examples — we call them here the Aesthetic Fun F^racts.

 For example:

• 124/217 → 4/7 (cancel 1+2)

• 163/326 → 1/2 (cancel 3+6)

• 316/632 → 1/2 (cancel 3+6)

• 455/546 → 5/6 (cancel 4+5)

• 499/998 → 1/2 (cancel 9+9)

Altogether I found 30 such elegant cases in the 3-digit range:

Non-trivial Anomalous Cancelling Fractions >100

Looking Further: 4-digit Curiosities

 The literature (cf. Boas 1979, and Wolfram MathWorld: Anomalous Cancellation) shows that in the 4-digit range there are many such fractions — in fact 1851 in total. However, many of these are “trivial” (often only zeros being cancelled).

 Some of the first non-trivial examples (from MathWorld/Wolfram):

 They demonstrate that the phenomenon is not limited to small numbers — but the really beautiful, “humanly surprising” examples become rarer.

Sources

• L. Boas (1979): Curious Cancelling Fractions

• Project Euler Problem 33: Digit Cancelling Fractions

• Wolfram MathWorld: Anomalous Cancellation

German

FUN F^RACTS!

Kuriose Kürzungsbrüche

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 Manchmal darf man in der Mathematik etwas tun, das eigentlich streng verboten ist: man streicht einfach gleiche Ziffern in Zähler und Nenner – und der Bruch bleibt trotzdem richtig!

Die Klassiker (2-stellige)

 Schon in den frühen Aufgaben von Project Euler (Problem 33) taucht das Phänomen auf. Es gibt genau vier nicht-triviale zweistellige Beispiele (vgl. Euler Project 33, R-Lösung auf R-Bloggers):

• 16/64 → 1/4 (streiche die 6)

• 19/95 → 1/5 (streiche die 9)

• 26/65 → 2/5 (streiche die 6)

• 49/98 → 4/8 = 1/2 (streiche die 9)

 Sie werden in der englischen Literatur als digit-cancelling fractions oder anomalous cancelling fractions bezeichnet.

"Euler Problem 33"

Die ästhetisch schönsten (3-stellige)

 Erweitert man die Suche auf dreistellige Zahlen und verlangt, dass zwei Ziffern gestrichen werden müssen (und nicht mehr als eine Ziffer "0" enthalten ist), entstehen die wirklich verblüffenden Beispiele – wir nennen sie hier die Ästhetischen Fun F^racts.

 Beispielsweise:

• 124/217 → 4/7 (streiche 1+2)

• 163/326 → 1/2 (streiche 3+6)

• 316/632 → 1/2 (streiche 3+6)

• 455/546 → 5/6 (streiche 4+5)

• 499/998 → 1/2 (streiche 9+9)

 Insgesamt fand ich 30 solcher eleganten Fälle im 3-stelligen Bereich:

Non-trivial Anomalous Cancelling Fractions >100

Ein Blick weiter: 4-stellige Kuriositäten

 Die Literatur (vgl. Boas 1979, sowie Wolfram MathWorld: Anomalous Cancellation) zeigt, dass es im 4-stelligen Bereich sehr viele solcher Brüche gibt – insgesamt 1851. Darunter sind aber viele „triviale“ (etwa nur Nullen gestrichen).

 Einige der ersten nicht-trivialen Beispiele (aus MathWorld/Wolfram):

  Sie zeigen, dass das Phänomen nicht auf kleine Zahlen beschränkt ist – aber die wirklich schönen, „menschlich verblüffenden“ Beispiele werden seltener.

Quellen

• L. Boas (1979): Curious Cancelling Fractions

• Project Euler Problem 33: Digit Cancelling Fractions

• Wolfram MathWorld: Anomalous Cancellation

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